Articles

Accueil   Articles   CV   Ens.   Liens

Articles de Recherche Systole et rayon maximal des variétés hyperboliques non compactes, prépublication - pdf Nous contrôlons deux invariants globaux des variétés hyperboliques à bouts cuspidaux : la longueur de la plus courte géodésique fermée (la systole), et le rayon de la plus grande boule plongée (le rayon maximal). Nous majorons la systole en fonction de la dimension et du volume simplicial. Nous minorons le rayon maximal par une constante positive indépendante de la dimension. Ces bornes sont optimales en dimension 3, atteintes par la variété de Gieseking (variété hyperbolique non compacte de plus petit volume en dimension 3). Cela donne une nouvelle caractérisation de cette variété en terme de systole. Paysage systolique des surfaces hyperboliques compactes de caractéristique -1, prépublication - pdf - beamer Dans cet article, on détermine les inégalités optimales pour la systole des surfaces hyperboliques compactes de caractéristique d'Euler-Poincaré -1, c'est-à-dire la somme connexe de trois plans projectifs, le tore à un bord, la bouteille de Klein à un bord et le plan projectif à deux bords (on considère le pantalon hyperbolique comme une exception, car il ne possède pas de géodésique fermée simple non triviale). On commence par étudier la topologie et la géométrie de ces surfaces, notamment les géodésiques fermées simples via l'involution hyperelliptique. On s'intéresse alors aux groupes modulaires et à leurs actions sur les espaces de Teichmüller. On décompose ensuite les espaces de Teichmüller en cellules correspondant aux classes minimales (chaque cellule correspond à la réalisation d'une certaine famille de géodésiques comme systoles). Finalement on détermine les points critiques de la systole ainsi que ses maxima globaux. Inégalités systoliques des surfaces hyperboliques de petit genre, prépublication, manuscrit sur demande Découpages et inégalités systoliques pour les surfaces hyperboliques à bord, Geometriae Dedicata (2009) 142:23-35 - pdf La version originale de cet article est disponible sur le site du journal. Nous encadrons la systole des surfaces semi-eutactiques ou parfaites à bord par des fonctions linéaires en la longueur du bord. Ceci prouve en particulier que le maximum global de la systole croît linéairement en la longueur du bord. La méthode que nous proposons est trés simple : il s'agit de découper des arcs de systole pour partager la surface en morceaux de caractéristique d'Euler-Poincaré égale à 0. Les morceaux contenant un bord de la surface sont des cylindres, on en déduit que la somme des longueurs des arcs de systole découpés majore la longueur du bord. Ainsi, en estimant le nombre d'arcs de systole découpés on obtient une minoration satisfaisante de la systole. La détermination d'un majorant vient d'un travail sur le rayon d'injectivité du bord. Constante de Bers en genre 2, Mathematische Annalen (2011) 350 (4):919-951 - pdf - beamer La version originale de cet article est disponible sur le site du journal. Toute famille de géodésiques fermées simples disjointes partageant une surface de Riemann en pantalonde s'appelle une partition. La longueur d'une partition est la longueur de sa plus grande géodésique. Depuis les travaux de Lipman Bers on sait que toute surface de Riemann de genre g admet une partition de longueur inférieure à une constante optimale B(g) ne dépendant que du genre, la constante de Bers. L'existence de cette constante permet notamment de réaliser certaines compactifications de l'espace de Teichmüller. Dans cet article nous déterminons pour la première fois la valeur d'une de ces constante, présicément de B(2). La preuve repose sur l'introduction d'un nouvel outil rendant compte de la répartition des points de Weierstrass sur une surface de Riemann, le graphe de contiguïté. Polyhedral Realization of a Thurston Compactification (en collaboration avec Yohei Komori), soumis - pdf Depuis les travaux de Thurston sur les surfaces, nous savons que l'espace de Teichmüller se plonge dans l'espace projectif de dimension infinie P(RS) où S désigne l'ensemble des classes d'isotopie de courbes fermées simples non triviales (ne bordant ni un disque, ni un plan projectif, ni un anneau dans la surface). En fait, le plongement considéré est réalisé par les fonctions longueur de géodésique, et donc canonique. Sa qualité essentielle tient en ce que l'adhérence de son image forme une compactification équivariante de l'espace de Teichmüller. Topologiquement cette compactification consiste en une boule fermée, et son bord s'identifie à différents espaces naturels (espace projectif des feuilletages mesurés, des laminations mesurés...). Ce bord n'est pas lisse, mais admet une triangulation par des simplexes projectifs entiers. Sa combinatoire s'avère très compliquée. Il nous paraît naturel de vouloir réaliser la compactification de Thurston comme un polyèdre entier d'un espace projectif de dimension finie. Dans cet article, nous étudions le cas de la somme connexe de trois plans projectifs. Nous réalisons la compactification de Thurston de l'esapce de Teichmüller correspondant comme un simplexe entier dans P(R4). Divers Rédaction de la Leçon de Mathématiques d'Aujourd'hui intitulée De la transversalité de Thom au h-principe de Gromov donnée par François Laudenbach, à paraître aux éditions Cassini. Traduction de l'anglais vers le français d'un chapitre du livre L'héritage scientifique de Poincaré édité par É. Charpentier, É. Ghys et A. Lesne chez Belin.